「素数階乗」の版間の差分
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素数階乗(そすうかいじょう)とは、2 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 n の素数階乗は、記号では n# で表す。
- 2# = 2
- 3# = 3 × 2 = 6
- 4# = 3# = 6
- 5# = 5 × 3# = 30
- 6# = 5# = 30
これらから分かるように n# は、 n 以下の最大の素数を p として、p# に等しい。p に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に
Contents
数学的性質
- 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1, 3, 7, 9 のいずれかに限られる。
- 素数が無数に存在することの証明の証明に使うことができる。
- 略証:最大の素数の存在を仮定し、それを pmax とおくと、pmax# + 1 は pmax 以下の約数をもたない。したがって pmax# + 1 は素数であることになるが、これは pmax を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。
- このように背理法を用いて最大の素数の存在を否定する方法は紀元前から知られていた。
- 実際に、素数 p に対し p# + 1 の素因数はいずれも p よりも大きく、素数とは限らない[1]。そのような最小の例として、p = 13 がある。
- 13# + 1 = 30031 = 59 × 509
- 上記のように、p (= 13) よりも大きな素数が得られる。
- 実際に、素数 p に対し p# + 1 の素因数はいずれも p よりも大きく、素数とは限らない[1]。そのような最小の例として、p = 13 がある。
- 720 = 22 × 61 × 301
素数階乗数の最初の20個
- p2 1# = 2# =
- p6 2# = 3# =
- p30 3# = 5# =
- p210 4# = 7# =
- p2310 5# = 11# =
- p 6# = 13# = 30030
- p 7# = 17# = 510510
- p 8# = 19# = 9699690
- p223092870 9# = 23# =
- p10# = 29# = 6469693230
- p11# = 31# = 200560490130
- p12# = 37# = 7420738134810
- p13# = 41# = 304250263527210
- p14# = 43# = 13082761331670030
- p15# = 47# = 614889782588491410
- p16# = 53# = 32589158477190044730
- p17# = 59# = 1922760350154212639070
- p18# = 61# = 117288381359406970983270
- p19# = 67# = 7858321551080267055879090
- p20# = 71# = 557940830126698960967415390