ブルーノ数

数学において、ブルーノ数（ブルーノすう、英: Brjuno number）とは、連分数展開の近似分数を p_n/q_n とする無理数 α で、次を満たすもののことを言う：

[math]\sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n} \lt \infty.[/math]

この数は、線型部分が e^2πiα である正則函数の芽が線型化可能であるための十分条件は α がブルーノ数であることを示した Brjuno (1971) によって導入された。この条件はまた1987年に Yoccoz (1995) によって、二次多項式に対しては必要条件であることも示された。その他の芽に対しては依然として未解決問題となっている。

ブルーノ函数

無理数 x に対して実ブルーノ函数 B(x) は定義され、次を満たす：

[math] B(x) =B(x+1)[/math]；

0 と 1 の間のすべての無理数 x に対して [math] B(x) = - \log x +xB(1/x)[/math].

参考文献

• Brjuno, A. D. (1971), “Analytic form of differential equations. I, II”, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva 25: 119–262, ISSN 0134-8663, MR 0377192 
• Marmi, Stefano; Moussa, Pierre; Yoccoz, Jean-Christophe (2001), “Complex Brjuno functions”, Journal of the American Mathematical Society 14 (4): 783–841, doi:10.1090/S0894-0347-01-00371-X, ISSN 0894-0347, MR 1839917 
• Yoccoz, Jean-Christophe (1995), Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, “Petits diviseurs en dimension 1”, Astérisque 231: 3–88, ISSN 0303-1179, MR 1367353