三角分布

三角分布

確率密度関数 Plot of the Triangular PMF
累積分布関数 Plot of the Triangular CMF
母数	[math]a:~a\in (-\infty,\infty)[/math] [math]b:~a\lt b\,[/math] [math]c:~a\le c\le b\,[/math]
台	[math]a \le x \le b \![/math]
テンプレート:確率分布/リンク 密度	[math] \begin{cases} 0 & \text{for } x \lt a, \\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \le x \lt c, \\[4pt] \frac{2}{b-a} & \text{for } x = c, \\[4pt] \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{for } c \lt x \le b, \\[4pt] 0 & \text{for } b \lt x. \end{cases} [/math]
累積分布関数	[math] \begin{cases} 0 & \text{for } x \leq a, \\[2pt] \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \lt x \leq c, \\[4pt] 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \text{for } c \lt x \lt b, \\[4pt] 1 & \text{for } b \leq x. \end{cases} [/math]
期待値	[math]\frac{a+b+c}{3}[/math]
中央値	[math] \begin{cases} a+\sqrt{\frac{(b-a)(c-a)}{2}} & \text{for } c \ge \frac{a+b}{2}, \\[6pt] b-\sqrt{\frac{(b-a)(b-c)}{2}} & \text{for } c \le \frac{a+b}{2}. \end{cases} [/math]
最頻値	[math]c\,[/math]
分散	[math]\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}[/math]
歪度	[math] \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}} [/math]
尖度	[math]-\frac{3}{5}[/math]
エントロピー	[math]\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)[/math]
モーメント母関数	[math]2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}[/math]
特性関数	[math]-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}[/math]

確率論および統計学において、三角分布（さんかくぶんぷ、英: triangular distribution）とは、区間 [a, b]において次の確率密度関数を持った連続確率分布である。

[math] f(x) = \begin{cases} \cfrac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \lt c, \\[12pt] \cfrac{2}{b-a} & \mathrm{for\ } x = c, \\[12pt] \cfrac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c \lt x \le b . \end{cases}[/math]

ここで、パラメータ a は最小値、b は最大値、c は最頻値(mode)である。

三角分布の累積分布関数は、

[math] F(x) = \begin{cases} \cfrac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c, \\[12pt] 1-\cfrac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c \lt x \le b. \end{cases}[/math]

三角分布の平均 E(X) および分散 V(X) は、

[math] E(X) = \frac{a+b+c}{3} [/math]

[math] V(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} [/math]

関連項目

• 確率分布