弾性エネルギー
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テンプレート:物理学 弾性エネルギー（だんせいエネルギー、英語: elastic energy）とは、ばねやゴムなどの弾性体の変形に伴うエネルギーである。位置エネルギーの一種である。
Contents
一次元の線形弾性体
フックの法則に従うバネ係数 k のバネの伸びが x であるときの弾性エネルギーは
- [math]U=\frac{k}{2}x^2[/math]
で与えられる。
導出
一端が壁に固定されたフックの法則に従うバネ係数 k のバネに接続された物体を考える。バネの伸びが x のとき、バネが物体に及ぼす力は F = −kx である。 バネの伸びが Δx だけ変化するとき、バネに接続された物体は Δx だけ移動する。 バネの伸びの変化が充分に小さい場合には、バネが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、バネが物体に行う仕事は
- [math]W =F\, \Delta x =-kx\, \Delta x[/math]
である。 一方、バネが物体に仕事を行うとき、バネから物体にエネルギーが移動する。バネの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、バネが行う仕事の分だけバネが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを U、その変化量を ΔU とすれば
- [math]W =-\Delta U[/math]
である。
これら二つの式から
- [math]\Delta U=kx\, \Delta x[/math]
が得られる。バネの伸びが無限小の極限 Δx → 0 で、微分係数が
- [math]\frac{dU}{dx} =kx[/math]
となる。これを積分すれば
- [math]U=\frac{k}{2}x^2 +U_0[/math]
が導かれる。ここで U0 は積分定数であり、これは伸びが x = 0、すなわちバネが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は U0 = 0 と定める。
弾性エネルギーの例
弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。