トラクトリックス
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トラクトリックス (tractrix) は直交座標の方程式
- [math]\begin{align} x &= a\log \frac{a \pm \sqrt{a^2 - y^2}}{y} \mp \sqrt{a^2 - y^2} \\ &= a\,{\rm cosh}^{-1}\left(\frac{a}{y}\right) \mp \sqrt{a^2 - y^2} \end{align}[/math]
によって表される曲線である。牽引線(けんいんせん)、引弧線、犬曲線、追跡線などとも呼ばれる。媒介変数表示では
- [math]x=a\left(\log \tan \frac{\theta}{2} + \cos \theta \right),\; y=a\sin \theta[/math]
あるいは、[math]\vartheta=\theta +\frac{\pi}{2}[/math] として
- [math]x=a\left(\operatorname{gd}^{-1}\vartheta - \sin \vartheta \right),\; y=a\cos \vartheta[/math]
と表される。ただし、[math]\operatorname{gd}^{-1}\vartheta[/math] はグーデルマン関数の逆関数である。 さらに、[math]t=\operatorname{gd}^{-1}\vartheta[/math] とおくことにより
- [math]x=a\left(t - \tanh t\right),\; y=a\operatorname{sech} t[/math]
と表すこともできる。