正五胞体

ファイル:Cell5-4dpolytope.png

正五胞体の投影図の例

正五胞体（せいごほうたい、regular pentachoron）は、4次元正多胞体のうち、胞が5つあるもの。つまり、全ての胞が合同な正四面体からなる五胞体である。

4次元正単体であり、2次元での正三角形、3次元での正四面体の4次元への拡張である。

五胞体の位相幾何学は1種類しかないので、全ての五胞体は正五胞体に位相同型である。

性質

• シュレーフリ記号は {3,3,3}。
• 胞は正四面体、面は正三角形である。
• n 次元面の数は [math]{}_5\operatorname{C}_{n+1}[/math] である。つまり、頂点と胞はそれぞれ5つ、辺と面はそれぞれ10である。
• 頂点形状は正四面体である。頂点には4つの辺、6つの面、4つの胞が集まり、これらは正四面体の頂点と辺と面の数に対応している。
• 辺形状は正三角形である。辺には面と胞が3つずつ集まり、これらは正三角形の頂点と辺の数に対応している。
• 自己双対多胞体である。つまり、自らと双対である。なお4次元正多胞体の中では、正五胞体と正二十四胞体が自己双対である。
• ペトリー多面体は正八面体である。一般に正単体のペトリー多胞体は正軸体で、正四面体のペトリー多面体が正方形であることに対応している。
• 展開図をダ・ヴィンチの星型に作ることができる（他の形も可能である）。

計量

辺の長さを [math]a\,[/math]とする。

• 超体積: [math] \frac{\sqrt{5}}{96} a^4 \approx 0.023292375 a^4 [/math]
• 超表面積: [math] \frac{\sqrt{75}}{4} a^3 \approx 2.165063509 a^3 [/math]